論「重傷華爾街的數(shù)學(xué)模型」一文

在金融海嘯成型，并造成經(jīng)濟(jì)衰退時(shí)，網(wǎng)路流傳一篇媒體報(bào)導(dǎo)名為「重傷華爾街的數(shù)學(xué)模型」的文章
(內(nèi)容可參考http://news.epochtimes.com.tw/9/3/13/107489.htm或http://tw.myblog.yahoo.com/jw!77k8Nm.CAES5kcLoh_95iA--/article?mid=2175)，報(bào)導(dǎo)內(nèi)容如下：

[b]「在利益驅(qū)使下，華爾街大量運(yùn)用一個(gè)充滿爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)模型，被認(rèn)為是導(dǎo)致整個(gè)市場(chǎng)崩潰的原因之一。」

【記者吳英／綜合外電編譯】自金融危機(jī)以來(lái)，媒體、學(xué)術(shù)界及政治人物都在尋找導(dǎo)致華爾街災(zāi)難的「真兇」，2月底《Wired》月刊發(fā)表了記者沙爾蒙（F. Salmon）題為〈災(zāi)難的處方──摧毀華爾街的公式〉（Recipe for Disaster-The Formula That Killed Wall Street）的文章，認(rèn)為投資人在不了解數(shù)學(xué)公式背后的假設(shè)的情況下，濫用統(tǒng)計(jì)學(xué)博士李祥林（David X. Li）開(kāi)創(chuàng)的一個(gè)用以評(píng)估違約相關(guān)性的公式，是導(dǎo)致全球金融危機(jī)連鎖骨牌效應(yīng)的禍?zhǔn)住?/p>

這個(gè)充滿爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)公式的首創(chuàng)人李祥林，1960年代出生于中國(guó)江蘇的連云港，擁有南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士、加拿大滑鐵盧大學(xué)（University of Waterloo）統(tǒng)計(jì)學(xué)博士學(xué)位。

2000年當(dāng)時(shí)還在摩根大通（JP Morgan Chase）任職的李祥林在《固定收入期刊》（The Journal of Fixed Income）發(fā)表了〈聯(lián)結(jié)函數(shù)的違約相關(guān)分析〉（On Default Correlation: A Copula Function Approach）的論文。這篇論文中以簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)建構(gòu)違約相關(guān)性的模型，刺激了信貸衍生債券市場(chǎng)的爆炸性發(fā)展，帶動(dòng)一種新興衍生金融工具「信貸違約掉期」（CDS, Credit Default Swaps）。

自此債券投資者、金融界、評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)以及監(jiān)管者大量運(yùn)用李的模型，但卻忽略了李對(duì)該模型有所限制的警告，終致失靈并因此付出可怕的代價(jià)。

李祥林從事的研究是確定資產(chǎn)間的相關(guān)性，或稱(chēng)之為一些獨(dú)立事件的相關(guān)性，并以簡(jiǎn)單和規(guī)范的數(shù)學(xué)模型計(jì)算，稱(chēng)之為「高斯－聯(lián)結(jié)相依函數(shù)」（Gaussian copula function）。該函數(shù)可說(shuō)是金融界的突破，以相對(duì)簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)公式計(jì)算複雜的金融商品間的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性。

沙爾蒙在文中以簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明李祥林模型有關(guān)「相關(guān)性」的基本概念。假設(shè)一名就讀國(guó)小的女孩艾莉絲，其父母離異、得到頭虱、看到老師踩到香蕉皮滑倒、以及贏得班上拼字比賽冠軍的機(jī)率都是5％，而所有投資客如果決定債券交易的價(jià)格都是以上述機(jī)率為基準(zhǔn)時(shí)，那麼他們的價(jià)格或多或少會(huì)是一樣的。

然而，如果再加上一名坐在艾莉絲旁邊的芭比，那麼情況就不一樣了。舉例來(lái)說(shuō)，芭比父母離異是否會(huì)影響艾莉絲父母離異的機(jī)率，答案是艾莉絲父母離異的機(jī)率還是5％，因此二者的相關(guān)性為零。另外，如果芭比得到頭虱，艾莉絲得到頭虱的機(jī)率可能高達(dá)50％，也就是二者的相關(guān)性可能達(dá)0.5。再者，芭比 看到老師踩到香蕉皮滑倒，艾莉絲也看到的機(jī)率可能高達(dá)95％，因?yàn)樗齻儌z人坐在一起，所以相關(guān)性接近1。而如果芭比在班上得到拼字比賽冠軍，表示艾莉絲贏得冠軍的機(jī)率是0，二者的相關(guān)性為負(fù)1。因此如果投資者是以上述的情況作為決定交易債券價(jià)格的參考時(shí)，價(jià)格的變化就大多了。

沙爾蒙在文中指出，一個(gè)看似簡(jiǎn)單的計(jì)量模型之所以對(duì)金融界帶來(lái)如此毀滅性的原因在于，美國(guó)房貸債券市場(chǎng)高達(dá)11兆美元，投資者通常投資成千上萬(wàn)不同的房貸債券。每個(gè)債券現(xiàn)金流量、違約率及提前償還的機(jī)率都不一樣，毫無(wú)規(guī)律可循，彼此之間的相關(guān)性更是複雜無(wú)比。( cxh99.com )

但金融界利用李祥林的「高斯－聯(lián)結(jié)相依函數(shù)」，將原本已經(jīng)很複雜的資產(chǎn)，進(jìn)行切割（tranching），成為風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)與投資報(bào)酬率不同的金融商品，然后推算出各個(gè)切割后不同部分（tranche）的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性，并以此算出他們的價(jià)格。

這一計(jì)價(jià)模型僅根據(jù)過(guò)去幾年金融商品的市場(chǎng)價(jià)格，就推算出一個(gè)相關(guān)性數(shù)據(jù)，而且假設(shè)這個(gè)相關(guān)性會(huì)永久維持不變。然而，過(guò)去幾年是房地產(chǎn)市場(chǎng)的牛市（bull market），房屋價(jià)格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風(fēng)險(xiǎn)基金管理人都忽略了房?jī)r(jià)可能下跌的現(xiàn)實(shí)，也就是說(shuō)低估了許多金融商品的風(fēng)險(xiǎn)，高估了這些商品的價(jià)格。

李祥林早在2005年接受《華爾街日?qǐng)?bào)》採(cǎi)訪時(shí)就表示，「很少人了解這個(gè)模型的本質(zhì)」。
其實(shí)早有許多市場(chǎng)分析師提出警告，但整個(gè)市場(chǎng)處于利益追逐的瘋狂狀態(tài)，大批不了解數(shù)學(xué)公式背后假設(shè)的管理人員，在利益的驅(qū)使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來(lái)越複雜的金融商品，一旦基本假設(shè)條件改變，整個(gè)市場(chǎng)就此崩潰。

正如李祥林對(duì)自己開(kāi)創(chuàng)的模型的評(píng)價(jià)：「最危險(xiǎn)的部分是，人們相信模型推算出的所有數(shù)據(jù)。」
雖然他設(shè)計(jì)的模型導(dǎo)致了華爾街金融危機(jī)，但李祥林格外低調(diào)，在美國(guó)很少有關(guān)于他的報(bào)導(dǎo)。據(jù)了解，他在2008年回到中國(guó)大陸，擔(dān)任中國(guó)國(guó)際金融公司（China International Capital Corporation，CICC）風(fēng)險(xiǎn)管理部門(mén)主管。

雖然，李祥林充分了解自己模型的缺點(diǎn)，但還是令人好奇，他將如何利用一個(gè)失敗的模型管理CICC的風(fēng)險(xiǎn)。[/b]

媒體一向喜歡嘩眾取寵，下「重口味」的標(biāo)題，實(shí)情又如何呢?

把所有的過(guò)錯(cuò)都推給一個(gè)人的一篇文章，是否公平，或者太抬舉了呢?(事情發(fā)生了就找替死鬼(反正都是他的錯(cuò))，共犯就可逃之夭夭，而一般人也可以安心睡覺(jué))。

為了一探究竟，我特別到網(wǎng)路上把該篇罪魁禍?zhǔn)椎奈恼?On Default Correlation: A Copula Function Approach)找出來(lái)，并大致研讀了一下，考慮到本論壇的特性，我盡量用比較不學(xué)術(shù)的語(yǔ)言簡(jiǎn)單敘述其內(nèi)容，并作評(píng)論。

 

這篇文章主要是提出一種計(jì)算資產(chǎn)組合違約風(fēng)險(xiǎn)的一般化模型，其實(shí)用變異與共變異的方式處理資產(chǎn)間的違約風(fēng)險(xiǎn)，老早就有了(此作法若要溯源，其實(shí)就是1952年Markowitz的投資組合理論中計(jì)算投組市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的作法，關(guān)于Markowitz模型的問(wèn)題以后再談)。

李祥林只不過(guò)將之「一般化」以擴(kuò)大應(yīng)用罷了。一般化系學(xué)術(shù)研究的習(xí)慣，例如愛(ài)因斯坦就把牛頓力學(xué)一般化，也就是提出新模型，讓原來(lái)的典范模型變成一種特殊狀況，新模型當(dāng)然就更放諸四海蘿。關(guān)于這點(diǎn)可以參考論文最關(guān)鍵的一段話：

「
We can conclude that CreditMetrics uses a bivariate normal copula function with the asset correlation as the
correlation parameter in the copula function. Thus, to generate survival times of two credit risks, we use
a bivariate normal copula function with correlation parameter equal to the CreditMetrics asset correlation.
We note that this correlation parameter is not the correlation coefficient between the two survival times. The
correlation coefficient between the survival times is much smaller than the asset correlation. Conveniently,
the marginal distribution of any subset of an n dimensional normal distribution is still a normal distribution.
Using asset correlations, we can construct high dimensional normal copula functions to model the credit
portfolio of any size.

 譯文：我們可以得出這樣的結(jié)論：CreditMetrics模型使用二維正態(tài)Copula函數(shù)與資產(chǎn)相關(guān)的
在Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。因此，我們使用的是產(chǎn)生2個(gè)信用風(fēng)險(xiǎn)的生存時(shí)間
雙變量正態(tài)Copula函數(shù)和相關(guān)參數(shù)等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相關(guān)性。
我們注意到，這種相關(guān)參數(shù)是不相關(guān)系數(shù)之間的生存時(shí)間。這個(gè)
生存時(shí)間的相關(guān)系數(shù)比資產(chǎn)相關(guān)性小得多。方便，
正態(tài)分布的任意子集的邊緣分布仍為正態(tài)分布。
利用資產(chǎn)的相關(guān)性，我們可以構(gòu)造高維正態(tài)Copula函數(shù)模型的信用
任何規(guī)模的投資組合。
」

看到?jīng)]有，在李祥林之前，CreditMetrics就已經(jīng)在用了。

換言之，你可以說(shuō)李助紂為虐，卻不能說(shuō)他是始作俑者。

再則，批評(píng)他助紂為虐也太過(guò)，本來(lái)所有的風(fēng)險(xiǎn)模型都是依據(jù)過(guò)去的資料與統(tǒng)計(jì)假設(shè)，問(wèn)題來(lái)了「過(guò)去的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)可能會(huì)變」(且有時(shí)候，甚至大部份時(shí)候，風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)變化對(duì)于因此形成的最適資產(chǎn)組合還滿敏感的，以后再談；但你不依據(jù)歷史資料有能依據(jù)甚麼?)，再則，資產(chǎn)走勢(shì)真的依據(jù)常態(tài)嗎?最近，學(xué)者一直在處理「厚尾」與「前后期相關(guān)」，就知前提假設(shè)大有問(wèn)題。

因此，我雖不同意報(bào)導(dǎo)的部分觀點(diǎn)，我倒是接受
「每個(gè)債券現(xiàn)金流量、違約率及提前償還的機(jī)率都不一樣，毫無(wú)規(guī)律可循，彼此之間的相關(guān)性更是複雜無(wú)比」
「這一計(jì)價(jià)模型僅根據(jù)過(guò)去幾年金融商品的市場(chǎng)價(jià)格，就推算出一個(gè)相關(guān)性數(shù)據(jù)，而且假設(shè)這個(gè)相關(guān)性會(huì)永久維持不變。然而，過(guò)去幾年是房地產(chǎn)市場(chǎng)的牛市（bull market），房屋價(jià)格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風(fēng)險(xiǎn)基金管理人都忽略了房?jī)r(jià)可能下跌的現(xiàn)實(shí)，也就是說(shuō)低估了許多金融商品的風(fēng)險(xiǎn)，高估了這些商品的價(jià)格。」（ www.kzuj.com.cn ）

「大批不了解數(shù)學(xué)公式背后假設(shè)的管理人員，在利益的驅(qū)使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來(lái)越複雜的金融商品，一旦基本假設(shè)條件改變，整個(gè)市場(chǎng)就此崩潰。」

「最危險(xiǎn)的部分是，人們相信模型推算出的所有數(shù)據(jù)。」

這幾句話。

也因此，我們作程式交易要很小心，若「市場(chǎng)結(jié)構(gòu)是會(huì)變的」，永續(xù)圣杯就難以企求了。

關(guān)于此，我會(huì)用幾篇文章繼續(xù)申論。